![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
неплохой обзор
Mar. 30th, 2007 11:25 am"Квазикристаллы и золотая пропорция"
-- В.БЕЛЯНИН,ведущий научный сотрудник РНЦ "Курчатовский институт".
-- В.БЕЛЯНИН,ведущий научный сотрудник РНЦ "Курчатовский институт".
истинная причина тяжбы
Mar. 29th, 2007 12:27 pmОказывается, существует совершенно практическая причина, по которой Kimberly-Clarke попыталась использовать мозаику Пенроуза на своей туалетной бумаге. Именно апериодичность этой удивительной мозаики позволяла (бы) её слоям не склеиваться. Но жадный Пенроуз не дал своё детище в обиду, и подал в суд. Ибо он видел в открытии не пользу, но единственно красоту :)
Кстати, если уж фибоначиевый филлотаксис - это средство создать квазиравномерность в одном измерении, то мозаика, подобная перноузовской - должна быть средством создать такую же квазиравномерность в двух измерениях. Что, возможно, и "пытаются" сделать квазикристаллы навроде Al-Pd-Mn.
У этой темы, как мне видится, по крайней мере два направления развития - к выяснению локальных (но нефрактальных) правил построения мозаики Пенроуза, или обратно, к "оптимальности формы снежинок".
There is an amusing true story connected with this, by the way. From the
classical theory of continued fractions we know that phi is the irrational
(or more precisely, one representative of a class of irrationals) which is
"hardest to approximate" by small denominator rationals. Kimberly-Clarke
had a problem with quilted toilet paper--- the ink patterns would cause
adjacent sheets to stick to one another if the patterns happened to line
up exactly. So someone had the idea of using a pattern obtained by
modifying Penrose tiling, probably only because this tiling is aperiodic.
But in fact the number theory shows that this particular tiling is a very
good choice, because other Sturmian tiling spaces are easier to
approximate by W spanned by "small integer" vectors. Anyway, at the
present time, Roger Penrose, the inventor (discoverer?) of Penrose
tilings, is suing Kimberly-Clarke for copyright infringement.
-- отсюда
Кстати, если уж фибоначиевый филлотаксис - это средство создать квазиравномерность в одном измерении, то мозаика, подобная перноузовской - должна быть средством создать такую же квазиравномерность в двух измерениях. Что, возможно, и "пытаются" сделать квазикристаллы навроде Al-Pd-Mn.
У этой темы, как мне видится, по крайней мере два направления развития - к выяснению локальных (но нефрактальных) правил построения мозаики Пенроуза, или обратно, к "оптимальности формы снежинок".
про гирих и мозаику Пенроуза
Mar. 21st, 2007 10:17 amМесяц назад китаец Peter J.Lu опубликовал в журнале Science статью "Decagonal and Quasicrystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture" (дополнительный иллюстративный материал). Одна из аннотаций по-русски (к сожалению, без имени автора).
Утверждается, что:
(1) пяти- и десятилучевые гирихи (мусульманские орнаменты) в какой-то момент (~1200г) перестали чертить с помощью линейки и циркуля, а вместо этого перешли к специальным типовым трафаретам с нанесёнными на них узорами, каковых трафаретов оказалось всего 5 разных видов (звезда, бантик, конфетка, пятиугольник и ромб).
(2) известно, что именно пяти- и десятилучевая трансляционная симметрия являются невозможными в кристаллах, поэтому подобные структуры назвали квазикристаллами. Можно бесконечно замостить плоскость многоугольниками нескольких видов так, что мозаика не будет периодической, хотя если в ней выбрать часть любого размера, то она повторится бесконечное количество раз (этакие двумерные иррациональные числа) - это показал Пенроуз на примере всего двух многоугольников ("кайт" и "дарт", либо два ромба разной степени сдавленности).
Так вот, в одной древней мусульманской постройке продемонстрировано именно это свойство пяти- и десятилучевых орнаментов: при весьма малом количестве цифр-элементов можно создать бесконечную неповторяющуюся стурктуру. Мало того, она ещё будет фрактальна (в другом масштабе тоже получается пяти- и десятилучевой узор, и он тоже - квазикристалл).
Получается, Пенроуз опоздал со своим открытием где-то на 500 лет (хотя выразил своё открытие в форме открытого знания). Забавно, что запатентовав свой узор, он потом судился с производителями туалетной бумаги, которые его напечатали. А любопытно, был ли узор на той туалетной бумаге неповторяющимся? :)
Однако рано утверждать, что китаец раз - и открыл всё про устройство гириха (как это было высвечено во второстепенных СМИ). Да, теперь стало очевиднее, что гирихом можно записывать двух- и более мерные иррациональные числа. Однако во-первых, неизвестно, было ли именно это целью средневековых мусульманских дизайнеров. И если да - какие именно числа они записывали, и что эти числа выражают.
Во-вторых, почему именно пять кубиков? Пенроуз начал своё теоретическое доказательство с огромного, но конечного числа, и, постепенно уменьшая его, дошёл до двух. Этакие "двоично-двумерные иррациональные числа". Интересно, чем 5 лучше двух? Дальнейшее уменьшение количества элементов было нецелесообразно?
В-третьих, далеко не все гирихи являются пяти- и десятилучевыми. У нас есть дома книжка арабских орнаментов - там в гирихе встречается и восьмеричность-шестнадцатиричность, и шестиричность-двенадцатиричность. И подобное разбиение на "китайские" многоугольники что-то не получается.
В общем, большая тема, есть над чем подумать.
Спасибо тем, через кого.
Утверждается, что:
(1) пяти- и десятилучевые гирихи (мусульманские орнаменты) в какой-то момент (~1200г) перестали чертить с помощью линейки и циркуля, а вместо этого перешли к специальным типовым трафаретам с нанесёнными на них узорами, каковых трафаретов оказалось всего 5 разных видов (звезда, бантик, конфетка, пятиугольник и ромб).
(2) известно, что именно пяти- и десятилучевая трансляционная симметрия являются невозможными в кристаллах, поэтому подобные структуры назвали квазикристаллами. Можно бесконечно замостить плоскость многоугольниками нескольких видов так, что мозаика не будет периодической, хотя если в ней выбрать часть любого размера, то она повторится бесконечное количество раз (этакие двумерные иррациональные числа) - это показал Пенроуз на примере всего двух многоугольников ("кайт" и "дарт", либо два ромба разной степени сдавленности).
Так вот, в одной древней мусульманской постройке продемонстрировано именно это свойство пяти- и десятилучевых орнаментов: при весьма малом количестве цифр-элементов можно создать бесконечную неповторяющуюся стурктуру. Мало того, она ещё будет фрактальна (в другом масштабе тоже получается пяти- и десятилучевой узор, и он тоже - квазикристалл).
Получается, Пенроуз опоздал со своим открытием где-то на 500 лет (хотя выразил своё открытие в форме открытого знания). Забавно, что запатентовав свой узор, он потом судился с производителями туалетной бумаги, которые его напечатали. А любопытно, был ли узор на той туалетной бумаге неповторяющимся? :)
Однако рано утверждать, что китаец раз - и открыл всё про устройство гириха (как это было высвечено во второстепенных СМИ). Да, теперь стало очевиднее, что гирихом можно записывать двух- и более мерные иррациональные числа. Однако во-первых, неизвестно, было ли именно это целью средневековых мусульманских дизайнеров. И если да - какие именно числа они записывали, и что эти числа выражают.
Во-вторых, почему именно пять кубиков? Пенроуз начал своё теоретическое доказательство с огромного, но конечного числа, и, постепенно уменьшая его, дошёл до двух. Этакие "двоично-двумерные иррациональные числа". Интересно, чем 5 лучше двух? Дальнейшее уменьшение количества элементов было нецелесообразно?
В-третьих, далеко не все гирихи являются пяти- и десятилучевыми. У нас есть дома книжка арабских орнаментов - там в гирихе встречается и восьмеричность-шестнадцатиричность, и шестиричность-двенадцатиричность. И подобное разбиение на "китайские" многоугольники что-то не получается.
В общем, большая тема, есть над чем подумать.
Спасибо тем, через кого.
