Curiouser and curiouser

На выходных обнаружил, что одна из центральных задач в биологии - объяснение механизма филлотаксиса - была практически решена каким-то китайским рукодельником в технологии изготовления соломенных шляп (вот тут вот плохо видно, но это оно).

Это меня совершенно потрясло (неизвестно, сколько тысячелетий китайцы плели эти шляпы), и я полез искать что-нибудь про эти шляпы. Пока нашёл только фотографии похожих шляп и термин - "open weave", который является необходимым, но недостаточным для фокусировки на конкретной технологии (а она весьма конкретна, в то время как дизайнов соломенных шляп - тысячи). Но я на верном пути - как обычно :)

В общем, прорываясь через лес этих самых шляпоизготовительных технологий коллатерально нарыл некоторое количество красивых роликов, которыми спешу поделиться:

• Соломенная шляпа на машинке - это так называемые "braided straw hats", форму которых самые-самые профессионалы "лепят" прямо на ходу, регулируя подачу в швейную машинку, примерно как гончар лепит свои горшки. С плетением ничего общего, если не считать плетение самой косички.
  
  
• Плетение шляп из листьев кокосовой пальмы - часть 1 и часть 2. Ловко!
  
  
• Интересно, все знают, что панама - это вообще-то соломенная шляпа из Эквадора? Правильно она называется Montecristi Fino, в ней можно носить воду, сворачивать в рулончик и пропустить через обручальное кольцо. Так их делают.
  

Как говорится, можно бесконечно наблюдать за тремя вещами: как горит огонь, как течёт вода, и как работает другой человек...

Оказывается, существует совершенно практическая причина, по которой Kimberly-Clarke попыталась использовать мозаику Пенроуза на своей туалетной бумаге. Именно апериодичность этой удивительной мозаики позволяла (бы) её слоям не склеиваться. Но жадный Пенроуз не дал своё детище в обиду, и подал в суд. Ибо он видел в открытии не пользу, но единственно красоту :)

There is an amusing true story connected with this, by the way. From the
classical theory of continued fractions we know that phi is the irrational
(or more precisely, one representative of a class of irrationals) which is
"hardest to approximate" by small denominator rationals. Kimberly-Clarke
had a problem with quilted toilet paper--- the ink patterns would cause
adjacent sheets to stick to one another if the patterns happened to line
up exactly. So someone had the idea of using a pattern obtained by
modifying Penrose tiling, probably only because this tiling is aperiodic.
But in fact the number theory shows that this particular tiling is a very
good choice, because other Sturmian tiling spaces are easier to
approximate by W spanned by "small integer" vectors. Anyway, at the
present time, Roger Penrose, the inventor (discoverer?) of Penrose
tilings, is suing Kimberly-Clarke for copyright infringement.

-- отсюда

Кстати, если уж фибоначиевый филлотаксис - это средство создать квазиравномерность в одном измерении, то мозаика, подобная перноузовской - должна быть средством создать такую же квазиравномерность в двух измерениях. Что, возможно, и "пытаются" сделать квазикристаллы навроде Al-Pd-Mn.

У этой темы, как мне видится, по крайней мере два направления развития - к выяснению локальных (но нефрактальных) правил построения мозаики Пенроуза, или обратно, к "оптимальности формы снежинок".

Про понятие "золотого сечения" написано очень много, но количество тумана явно перебирает через положенные по этому самому закону 61.8% :)

Между тем, это просто, если отбросить эстетический аспект (к нему можно будет вернуться позже). Золотое сечение (фи=0.61803398874) - такая же базовая константа нашего мира, как и круговое число (Пи=3.1415926). Обе константы являются предельными значениями для некоторых групп процессов, часто дискретных (поэтому заявленная иррациональность на практике недостижима).

То, что построено или сваяно человеком (сознательно, бессознательно, либо вообще вопреки собственной воле) тоже лучше для начала отбросить. Золотое сечение появляется в природных феноменах, независимых от человеческой воли - вот там его и нужно изучать. Большинство примеров относятся к разнообразным измерениям на живых организмах - начиная от ракушек моллюсков, через филлотаксис (схемы расположения листьев, почек, лепестков, семечек и прочих заменимых органов) растений и до млекопитающих. Человеческое тело - не исключение; его-то уже за века мерили-перемерили...

Вот два примера, на которые хотелось бы обратить внимание:


Один из них "аутентичный", а другой частично напоминает измерения будки из "Маятника Фуко". Разобравшись в основной идее можно понять, какой именно относится к будке.

Итак, ПОЧЕМУ же живые организмы (есть любители расширять определение "живого" - пожалуйста) делятся некоторыми важными точками (пупками, коленками, плечами...) в пропорции золотого сечения? Чтобы в этом разобраться, потребуется знание двух фактов:

1) В ряду чисел Фибоначчи (F₁=1,F₂=1,F₃=2,3,5,8, ..., F_n ), где F_n = F_n-1+F_n-2, отношение двух последовательно взятых чисел F_n/F_n-1 сколь угодно близко приближается к 1+фи=1.618033...

2) Оказывается, давным-давно известна контекстно-свободная грамматика, порождающая строку, которая в каждом поколении имеет длину, равную очередному числу Фибоначчи. Грамматика выглядит следующим образом:
start = {A}, rules = { A->B, B->AB }. Попробуем "проиграть" несколько поколений:

(поколение 1, длина= 1) А
(поколение 2, длина= 1) В
(поколение 3, длина= 2) АВ
(поколение 4, длина= 3) ВАВ
(поколение 5, длина= 5) АВВАВ
(поколение 6, длина= 8) ВАВАВВАВ
(поколение 7, длина=13) АВВАВВАВАВВАВ
и так далее.

Попытаемся осмыслить, что здесь происходит. Второе правило можем представить себе, как деление клетки. А первое - как взросление молодой клетки. "Молодая" клетка (типа А) не может разделиться сразу, для этого ей нужно сначала повзрослеть. А "старая" (типа В) делится сразу же, но хотя в результате деления от неё отпочковывается "молодая", "старая" остаётся репродуктивноспособной.

Рассмотрим теперь, что произойдёт с местом первичного деления (в поколении 3), поставив между половинками маркер - точку. Поколения и длину я буду теперь опускать:
А
В
А.В
В.АВ
АВ.ВАВ
ВАВ.АВВАВ
АВВАВ.ВАВАВВАВ
и так далее.

Очевидно, что, т.к. грамматика контекстно-свободная, левая и правая части никогда больше не перехлестнутся, и будут удлинняться совершенно независимо. Каждая из половинок повторяет общий закон чисел Фибоначчи, таким образом поставленный нами маркер делит строку ровно в отношении ЗС. В любой из "половинок" на любом из шагов может возникнуть свой собственный маркер, который будет делить в этой пропорции соответствующую часть - нужно просто понять, какую именно.

В процессе эмбриогенеза организм возникает из одной-двух клеток, которые делятся. Хотя делятся они не такими чёткими поколениями, но процессы эти очень похожи. Времена, требуемые для деления разных клеток одного типа близки, и их можено условно считать одинаковыми. А откуда же берутся маркеры? Маркер в каждом случае - это некий орган, развившийся из специализированной клетки. Можно представить себе, что в некоторый момент, близкий к началу развития, вместо правила В->АВ срабатывает правило В->АПВ, где из П разовьётся, допустим, пупок. А уже на следующем шаге в более длинной части срабатывает В->ВКА, где из К разовьётся коленка.

Разумеется, мы тут построили шарообразного коня в вакууме одномерного человека, но общая идея должна быть ясна. Если такой или подобный закон деления применяется для построения большинства организмов (а известно, что по крайней мере у 92% видов растений филлотаксис осуществляется в соответствии с законом ЗС), то неудивительно, что он нас буквально окружает.

Ну и наконец эстетика. Почему же нам так "нравится" золотое сечение? Что в нём такого красивого?
Можно спекульнуть, что и наш орган восприятия красоты (как бы он ни назывался и где бы ни находился) тоже построен подобным образом. И, соответственно, резонирует на всё золоторассечённое :)