про гирих и мозаику Пенроуза
Mar. 21st, 2007 10:17 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
jayrandomМесяц назад китаец Peter J.Lu опубликовал в журнале Science статью "Decagonal and Quasicrystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture" (дополнительный иллюстративный материал). Одна из аннотаций по-русски (к сожалению, без имени автора).
Утверждается, что:
(1) пяти- и десятилучевые гирихи (мусульманские орнаменты) в какой-то момент (~1200г) перестали чертить с помощью линейки и циркуля, а вместо этого перешли к специальным типовым трафаретам с нанесёнными на них узорами, каковых трафаретов оказалось всего 5 разных видов (звезда, бантик, конфетка, пятиугольник и ромб).
(2) известно, что именно пяти- и десятилучевая трансляционная симметрия являются невозможными в кристаллах, поэтому подобные структуры назвали квазикристаллами. Можно бесконечно замостить плоскость многоугольниками нескольких видов так, что мозаика не будет периодической, хотя если в ней выбрать часть любого размера, то она повторится бесконечное количество раз (этакие двумерные иррациональные числа) - это показал Пенроуз на примере всего двух многоугольников ("кайт" и "дарт", либо два ромба разной степени сдавленности).
Так вот, в одной древней мусульманской постройке продемонстрировано именно это свойство пяти- и десятилучевых орнаментов: при весьма малом количестве цифр-элементов можно создать бесконечную неповторяющуюся стурктуру. Мало того, она ещё будет фрактальна (в другом масштабе тоже получается пяти- и десятилучевой узор, и он тоже - квазикристалл).
Получается, Пенроуз опоздал со своим открытием где-то на 500 лет (хотя выразил своё открытие в форме открытого знания). Забавно, что запатентовав свой узор, он потом судился с производителями туалетной бумаги, которые его напечатали. А любопытно, был ли узор на той туалетной бумаге неповторяющимся? :)
Однако рано утверждать, что китаец раз - и открыл всё про устройство гириха (как это было высвечено во второстепенных СМИ). Да, теперь стало очевиднее, что гирихом можно записывать двух- и более мерные иррациональные числа. Однако во-первых, неизвестно, было ли именно это целью средневековых мусульманских дизайнеров. И если да - какие именно числа они записывали, и что эти числа выражают.
Во-вторых, почему именно пять кубиков? Пенроуз начал своё теоретическое доказательство с огромного, но конечного числа, и, постепенно уменьшая его, дошёл до двух. Этакие "двоично-двумерные иррациональные числа". Интересно, чем 5 лучше двух? Дальнейшее уменьшение количества элементов было нецелесообразно?
В-третьих, далеко не все гирихи являются пяти- и десятилучевыми. У нас есть дома книжка арабских орнаментов - там в гирихе встречается и восьмеричность-шестнадцатиричность, и шестиричность-двенадцатиричность. И подобное разбиение на "китайские" многоугольники что-то не получается.
В общем, большая тема, есть над чем подумать.
Спасибо тем, через кого.
Утверждается, что:
(1) пяти- и десятилучевые гирихи (мусульманские орнаменты) в какой-то момент (~1200г) перестали чертить с помощью линейки и циркуля, а вместо этого перешли к специальным типовым трафаретам с нанесёнными на них узорами, каковых трафаретов оказалось всего 5 разных видов (звезда, бантик, конфетка, пятиугольник и ромб).
(2) известно, что именно пяти- и десятилучевая трансляционная симметрия являются невозможными в кристаллах, поэтому подобные структуры назвали квазикристаллами. Можно бесконечно замостить плоскость многоугольниками нескольких видов так, что мозаика не будет периодической, хотя если в ней выбрать часть любого размера, то она повторится бесконечное количество раз (этакие двумерные иррациональные числа) - это показал Пенроуз на примере всего двух многоугольников ("кайт" и "дарт", либо два ромба разной степени сдавленности).
Так вот, в одной древней мусульманской постройке продемонстрировано именно это свойство пяти- и десятилучевых орнаментов: при весьма малом количестве цифр-элементов можно создать бесконечную неповторяющуюся стурктуру. Мало того, она ещё будет фрактальна (в другом масштабе тоже получается пяти- и десятилучевой узор, и он тоже - квазикристалл).
Получается, Пенроуз опоздал со своим открытием где-то на 500 лет (хотя выразил своё открытие в форме открытого знания). Забавно, что запатентовав свой узор, он потом судился с производителями туалетной бумаги, которые его напечатали. А любопытно, был ли узор на той туалетной бумаге неповторяющимся? :)
Однако рано утверждать, что китаец раз - и открыл всё про устройство гириха (как это было высвечено во второстепенных СМИ). Да, теперь стало очевиднее, что гирихом можно записывать двух- и более мерные иррациональные числа. Однако во-первых, неизвестно, было ли именно это целью средневековых мусульманских дизайнеров. И если да - какие именно числа они записывали, и что эти числа выражают.
Во-вторых, почему именно пять кубиков? Пенроуз начал своё теоретическое доказательство с огромного, но конечного числа, и, постепенно уменьшая его, дошёл до двух. Этакие "двоично-двумерные иррациональные числа". Интересно, чем 5 лучше двух? Дальнейшее уменьшение количества элементов было нецелесообразно?
В-третьих, далеко не все гирихи являются пяти- и десятилучевыми. У нас есть дома книжка арабских орнаментов - там в гирихе встречается и восьмеричность-шестнадцатиричность, и шестиричность-двенадцатиричность. И подобное разбиение на "китайские" многоугольники что-то не получается.
В общем, большая тема, есть над чем подумать.
Спасибо тем, через кого.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-04-28 11:21 pm (UTC)Речь не о том, что не получается разбить многоугольники вообще. Наверняка как-то можно. Но поскольку пятеричность-десятеричность в некоторых орнаментах отсутствует, то я сомневаюсь, что их можно разбить подобно пенроузовской мозаике.
Взять хотя бы "Plate 46, Mosque of Amir Alwas; main exterior door" (открыл наугад). Имеем истинное геометрическое деление пространства на 12 направлений (основной углообразующий элемент - 12-конечная звезда). На его базе строятся всякие "эмуляции": есть и восьмиугольник, и шестиугольник, и даже пятиконечная звезда. Однако приглядевшись внимательнее можно увидеть, что пятиконечные звёзды там неправильные.
no subject
Date: 2007-05-10 06:59 am (UTC)Но ладно, на примере узоров из Bourgoin - примерно 70% из них разбивают
плоскость таким образом, что полученную "карту" можно раскрасить в две
краски (скажем красную и синюю). В некоторых случаях можно нарисовать
биссектрисы всех синих углов (или всех красных) и это даст разбиение, немного
похожее на то, что у китайца. В более сложных случаях получается интересное
разбиение если биссектрисами делить не все углы, а только некоторые (тогда
вписанные в получившиеся элементы "гексанемы" будут с самопересечениями).
А иногда и это не помогает.
Еще интересная ссылка по теме
http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/phd/kaplan_diss_starpatterns_print.pdf
Этот мужик даже программу написал (Taprats), которая звезды рисует - с его
сайта можно скачать.
no subject
Date: 2007-05-11 08:32 am (UTC)Посмотрю.