упорство чисел

[jayrandom]

Есть такая удивительная характеристика целых чисел - "упорство".

Различают аддитивное и мультипликативное упорства.

Первое понятно откуда возникает: если искать остаток от деления числа на 9 по шагам, на каждом шаге складывая цифры числа (т.н. "теософское сложение"), то аддитивное упорство- это во сколько элементарных шагов мы уложимся. И понятно, что ограничения сверху у такой штуки нет.

Второе понятие существенно хитрее. То есть формально это эквивалентный процесс, где используется "теософское умножение". Но ничему более простому эта процедура, похоже, не соответствует. При этом пока не найдено ни одного числа, для которого число шагов было бы больше 11. То есть эта непараметрическая процедура разбивает всё множество целых чисел на 12 классов.

Если попытаться зарисовать граф чисел, сводимых друг к дружке, получим очень красивую с виду нерегулярную картинку. А если над ней много думать...

Comments

[azgar.livejournal.com]

А какой-нибудь практический смысл это "упорство числа" имеет?

наверняка

[jayrandom.livejournal.com]

"Во-первых, это красиво" :)

Re: наверняка

[azgar.livejournal.com]

Ну, разве что так :)

[livelight]

Имхо, зря они это всё к целым числам сводят, ибо это явно более широко применимая алгебраическая характеристика, пригодная для любых одноместных операций, отображающих множества (возможно, бесконечные) на самих себя. Хотя, конечно, дело вкуса: мне в данном случае интереснее общая структура таких графов (была однажды в жж очень хорошая иллюстрация, типа флешмоба: в различных журналах появлялись посты типа "это отличный пост" со ссылкой на другой пост, который имел точно такой же вид, и после долгого блуждания путь по этим ссылкам замыкался в цикл), кому-то - именно частное свойство целых чисел.

[jayrandom.livejournal.com]

Вряд ли тут можно говорить о какой-то "общей" структуре графа безотносительно операции. Ведь это именно операция структуру и определяет. Если же от неё абстрагироваться... ну будет направленный лес с N корнями.

В данном конкретном примере мне понравилось именно то, что операция без очевидных признаков конечности на бесконечном множестве приводит к лесу с конечным ограничением по высоте. Хотя пока рисуешь этот лес, понемногу догадываешься, откуда конечность вылезает.

[livelight]

В том-то и дело, что лес необязателен (хотя для данных операций это так): вместо корней могут быть и орциклы.

Конечность, я так понимаю, из-за возникновения нулей?

[jayrandom.livejournal.com]

Каких нулей?

[livelight]

Нулей - в десятичной записи произведения цифр заданного числа.

Потому что если бы ни они, то, как мне кажется, чисто статистически можно было бы мультипликативное упорство задавить длиной чисел (что и происходит для аддитивного упорства): для подавляющего большинства чисел хотя бы половина цифр в их записи по статистике является двойкой и выше, таким образом, мы можем получить для любого числа N такое число M, что подавляющее большинство не содержащих в записи нулей чисел больше M после применения операции теософского умножения дадут число большее, чем N. Применив этот переход 12 раз, получим оценки для чисел с мультипликативным упорством 12 и выше. Однако, если мы при этом гарантированно упираемся в наличие в записи результата теософского умножения нулей - то на этом цепочка умножений и заканчивается.

[jayrandom.livejournal.com]

Да, нулей там чем выше, тем больше.

Мне стало любопытно экспериментально посчитать. Оказывается в первых 100 миллионах чисел, из 10 возможных конечных результатов приведения, 96% всех чисел сходится именно к нулю. На втором месте шестёрка (>2%), на третьем восьмёрка(>1%).

При этом у 51% из всех рассмотренных чисел длина вычисления составила 1 операцию (по-видимому, они все сошлись к нулям), у 35% - длина вычисления составила 2 операции.

* * *

А правильно ли здесь доказывать при помощи вероятностей? Т.е. их может быть очень мало - этих чисел с упорством 12 и выше, но они же тем не менее могут где-то существовать? Большие такие, со сложным внутренним миром :)

[livelight]

Среди первых 100 миллионов чисел, как раз примерно половина и не содержит в записи нулей :)

Тервер и Закон Больших Чисел будут хороши, если кто-нибудь нам гарантирует отсутствие нулей в полученных произведениях, чтобы мы могли двигаться дальше. А до тех пор, он же нам говорит, что чем длиннее числа - тем больше среди них доля чисел с нулями.