обсуждение задачи о числе 24
Jan. 11th, 2007 11:21 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
jayrandomНа задачу из прошлого постинга "клюнуло" совершенно рекордное число людей (и они продолжают добавляться). Даже если исключить то, что многие пишут по нескольку комментариев, всё равно впечатляет.
Задача совершенно настоящая, мы её взяли из пионерской книжки Перельмана, но там не говорилось о существовании решения для всех цифр. Немного повозившись, я могу утверждать, что решений на самом деле тьма, с разными степенями строгости. По возможности в примерах я постараюсь использовать язык гугль-калькулятора.
Чтобы не лишать удовольствия поиска решения тех, кто ещё хочет себя попробовать, я убираю обсуждение этой замечательной задачи под кат.
Первое, что обычно приходит в голову, это решение с тройкой, 3^3-3. Оно также приведено у Перельмана.
Второе - несколько нестандартное - из двоек: 22+2. Тем, кто утверждает, что это нечестно, нужно внимательно перечитать условие: трижды можно использовать не числа, а цифры, так что всё корректно. Это решение также приведено у Перельмана. Ниже я покажу вариант с двойками как с числами.
Можно немного попаразитировать на готовеньком решении из троек, вспомнив, что существует операция извлечения квадратного корня: sqrt(9)^sqrt(9)-sqrt(9). Чтобы это паразитирование не было таким явным, можно перейти к варианту sqrt(9)*9-sqrt(9).
Четвёрка предлагает сразу два подхода, первый с корнем: 4*(sqrt(4)+4), второй - через факториал: 4!. Во втором случае мы впервые сталкиваемся с необходимостью "потратить" лишние цифры. Когда их две, можно предложить либо прибавить-отнять, либо умножить-разделить: 4!*4/4 или 4!+4-4.
Теперь очевидно, что делать с пятёркой: 5!/5. Лишняя цифра? Одну мы пока удалять не умеем, а что если поглотить две в одну? Например, так: 5!/sqrt(5*5) или симметрично sqrt(5*5)!/5.
Хочется по инерции сделать то же самое и с 6!, поделив его на 6 и на 5, но как из 6 получить 5? Пока отложим.
Шестёрка... Можно бы использовать то же разложение 4*6, которое мы уже видели в первом случае с четвёрками, но как получить четыре из двух шестёрок? Предлагался вариант приближённого вычисления: round(sqrt(6))*round(sqrt(6))*6, но попробуем найти также точные решения.
Вспомним, что используя корень, мы также неявно используем двойку. Она не пишется, но подразумевается. А нельзя ли "вытащить" эту двойку? Конечно можно, используем логарифмы: ln(6)/ln(sqrt(6))=2. Но мы потратили две шестёрки! Не беда, создадим тогда из них не двойку, а сразу четвёрку, и получим такое решение: 6*ln(6)/ln(sqrt(sqrt(6)).
Можно ли каждую шестёрку отдельно преобразовать в двойку? Оказывается, да, для этого достаточно вспомнить, что синус 30 градусов - половина, а половину можно перевернуть. Итак, у нас родился первый "тригонометрический" вариант 6/(sin(pi/6)*sin(pi/6)).
Тригонометрические функции - мощный инструмент. А можно ли так же, как мы поступили с логарифмами, "вытащить" целочисленные делители круга? Можно, для этого будем использовать обратные тригонометрические функции: arcsin(1/2)=pi/6 и смежную arccos(1/2)=pi/3. То есть можно получать тройки и шестёрки из двоек и единиц. Если мы всё-таки играем в цифры, а не числа, то сделаем половинки из пятёрок и получим следующее разложение: pi/arcsin(.5)*pi/arccos(.5)+pi/arcsin(.5).
Не канает? Хорошо, тогда вот пожалуйста, вариант из двоек-как-чисел: pi/arcsin(e/(e*2))*pi/arccos(pi/(pi*2))+pi/arcsin(pi/(pi*2)).
Вернёмся к факториальному варианту шестёрки. Уж раз мы "открыли" тригонометрию, грех будет ей не воспользоваться дальше: 6!/(6*(6+cos(pi))). Попутно мы научились получать единицу, не потратив ни одной цифры: -cos(pi). В принципе, из таких "единиц" уже можно набрать любое число, но не будем машинами :)
У нас остались единицы, нули и семёрки.
Для семёрки пока предложим приблизительное решение: 7/sqrt(sqrt(sqrt(7)))+7*sqrt(7). Использовано четыре семёрки? Не беда, вынесем её за скобки тем же методом, что и в "тригонометрических двойках": 7*(pi/(pi*sqrt(sqrt(sqrt(7)))+sqrt(7)). Точное решение - впереди.
Три единицы! Три единицы за 24 :)
Есть ещё тригонометрическая функция тангенса. Сейчас она нам пригодится, а именно: tan(pi/4)=1, следовательно pi/atan(1)=4. Из четвёрок мы уже умеем делать 24 кучей способов. Пусть, например, так: (pi/atan(1*1))!/1 или так: (pi/atan(1))!+1-1.
Нуль можно преобразовать в единицу, например, возведя в него что-нибудь ненужное: exp(pi)^0. То есть, вариант из нуля можно предложить такой: (pi/atan(exp(pi)^0))! Одного нуля будет достаточно. Остальные можнопролюбить прибавить-отнять на любой стадии. Не стоит только умножать и делить :)
Семёрка - вообще прикольная цифра. Она как будто бы повсюду встречается, нас окружает, а тыкнешь пальцем - и нету её. Увековечим же это в нашем последнем скромном примере: (7*7 mod 7) + (pi/atan(-cos(pi)))!
ЗЫ: из комментов мне понравились следующие варианты:
(5-5/5)!
5*5-sign(5) -- классная идея, жалко что гугль не понимает функции знака. Ну и хрен с ним :)
Суммы разнообразных последовательностей целых чисел. Будет интересной задачкой действительно записать их каноническим знаком суммы (сигмы) с параметрами сверху и снизу, зависящими только от семёрок, или девяток, или чего угодно.
Идея использовать операцию теософского сокращения. В математической записи это - остаток от деления числа на 9 плюс единица. Тоже было бы прикольно выкрутиться, используя этот механизм. Получится своеобразный "шедевр формулообразования", который будет заставлять эээ... реципиента задуматься: что в это формуле хотел сказать автор? :)
Задача совершенно настоящая, мы её взяли из пионерской книжки Перельмана, но там не говорилось о существовании решения для всех цифр. Немного повозившись, я могу утверждать, что решений на самом деле тьма, с разными степенями строгости. По возможности в примерах я постараюсь использовать язык гугль-калькулятора.
Чтобы не лишать удовольствия поиска решения тех, кто ещё хочет себя попробовать, я убираю обсуждение этой замечательной задачи под кат.
Первое, что обычно приходит в голову, это решение с тройкой, 3^3-3. Оно также приведено у Перельмана.
Второе - несколько нестандартное - из двоек: 22+2. Тем, кто утверждает, что это нечестно, нужно внимательно перечитать условие: трижды можно использовать не числа, а цифры, так что всё корректно. Это решение также приведено у Перельмана. Ниже я покажу вариант с двойками как с числами.
Можно немного попаразитировать на готовеньком решении из троек, вспомнив, что существует операция извлечения квадратного корня: sqrt(9)^sqrt(9)-sqrt(9). Чтобы это паразитирование не было таким явным, можно перейти к варианту sqrt(9)*9-sqrt(9).
Четвёрка предлагает сразу два подхода, первый с корнем: 4*(sqrt(4)+4), второй - через факториал: 4!. Во втором случае мы впервые сталкиваемся с необходимостью "потратить" лишние цифры. Когда их две, можно предложить либо прибавить-отнять, либо умножить-разделить: 4!*4/4 или 4!+4-4.
Теперь очевидно, что делать с пятёркой: 5!/5. Лишняя цифра? Одну мы пока удалять не умеем, а что если поглотить две в одну? Например, так: 5!/sqrt(5*5) или симметрично sqrt(5*5)!/5.
Хочется по инерции сделать то же самое и с 6!, поделив его на 6 и на 5, но как из 6 получить 5? Пока отложим.
Шестёрка... Можно бы использовать то же разложение 4*6, которое мы уже видели в первом случае с четвёрками, но как получить четыре из двух шестёрок? Предлагался вариант приближённого вычисления: round(sqrt(6))*round(sqrt(6))*6, но попробуем найти также точные решения.
Вспомним, что используя корень, мы также неявно используем двойку. Она не пишется, но подразумевается. А нельзя ли "вытащить" эту двойку? Конечно можно, используем логарифмы: ln(6)/ln(sqrt(6))=2. Но мы потратили две шестёрки! Не беда, создадим тогда из них не двойку, а сразу четвёрку, и получим такое решение: 6*ln(6)/ln(sqrt(sqrt(6)).
Можно ли каждую шестёрку отдельно преобразовать в двойку? Оказывается, да, для этого достаточно вспомнить, что синус 30 градусов - половина, а половину можно перевернуть. Итак, у нас родился первый "тригонометрический" вариант 6/(sin(pi/6)*sin(pi/6)).
Тригонометрические функции - мощный инструмент. А можно ли так же, как мы поступили с логарифмами, "вытащить" целочисленные делители круга? Можно, для этого будем использовать обратные тригонометрические функции: arcsin(1/2)=pi/6 и смежную arccos(1/2)=pi/3. То есть можно получать тройки и шестёрки из двоек и единиц. Если мы всё-таки играем в цифры, а не числа, то сделаем половинки из пятёрок и получим следующее разложение: pi/arcsin(.5)*pi/arccos(.5)+pi/arcsin(.5).
Не канает? Хорошо, тогда вот пожалуйста, вариант из двоек-как-чисел: pi/arcsin(e/(e*2))*pi/arccos(pi/(pi*2))+pi/arcsin(pi/(pi*2)).
Вернёмся к факториальному варианту шестёрки. Уж раз мы "открыли" тригонометрию, грех будет ей не воспользоваться дальше: 6!/(6*(6+cos(pi))). Попутно мы научились получать единицу, не потратив ни одной цифры: -cos(pi). В принципе, из таких "единиц" уже можно набрать любое число, но не будем машинами :)
У нас остались единицы, нули и семёрки.
Для семёрки пока предложим приблизительное решение: 7/sqrt(sqrt(sqrt(7)))+7*sqrt(7). Использовано четыре семёрки? Не беда, вынесем её за скобки тем же методом, что и в "тригонометрических двойках": 7*(pi/(pi*sqrt(sqrt(sqrt(7)))+sqrt(7)). Точное решение - впереди.
Три единицы! Три единицы за 24 :)
Есть ещё тригонометрическая функция тангенса. Сейчас она нам пригодится, а именно: tan(pi/4)=1, следовательно pi/atan(1)=4. Из четвёрок мы уже умеем делать 24 кучей способов. Пусть, например, так: (pi/atan(1*1))!/1 или так: (pi/atan(1))!+1-1.
Нуль можно преобразовать в единицу, например, возведя в него что-нибудь ненужное: exp(pi)^0. То есть, вариант из нуля можно предложить такой: (pi/atan(exp(pi)^0))! Одного нуля будет достаточно. Остальные можно
Семёрка - вообще прикольная цифра. Она как будто бы повсюду встречается, нас окружает, а тыкнешь пальцем - и нету её. Увековечим же это в нашем последнем скромном примере: (7*7 mod 7) + (pi/atan(-cos(pi)))!
ЗЫ: из комментов мне понравились следующие варианты:
(5-5/5)!
5*5-sign(5) -- классная идея, жалко что гугль не понимает функции знака. Ну и хрен с ним :)
Суммы разнообразных последовательностей целых чисел. Будет интересной задачкой действительно записать их каноническим знаком суммы (сигмы) с параметрами сверху и снизу, зависящими только от семёрок, или девяток, или чего угодно.
Идея использовать операцию теософского сокращения. В математической записи это - остаток от деления числа на 9 плюс единица. Тоже было бы прикольно выкрутиться, используя этот механизм. Получится своеобразный "шедевр формулообразования", который будет заставлять эээ... реципиента задуматься: что в это формуле хотел сказать автор? :)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Кое-что на халяву
Date: 2007-01-12 08:27 am (UTC)Пример первый.
Эволютивные процессы происходят, как [некоторым] известно, путем перехода от одной стадии («ноте») к более высокой. Механизм этот следующий: «высшее» взаимодействует с «низшим» и в результате получается «среднее». На это «среднее», в свою очередь, воздействует «еще более высшее», и так далее. Происходит своеобразный подъем по лестнице.
(Ну типа, в простейшем случае, когда вы подливаете в ванну горячую воду, чтобы поднять общую температуру.)
Этот механизм (в некоторых источниках называемый «харнель-мяцнель») проявляется в бесчисленном множестве процессов и может служить объяснением многих фактов. Ученик растет, занимает место учителя, который поднимается еще выше. И вообще почему нужен учитель. И почему два или тысяча дураков не заменят одного умного. И почему само по себе укрупнение бизнеса не обязательно должно вести к его процветанию. И пр.
В математике этому есть аналогия. Это действие «усреднения», или нахождение среднего арифметического. Для рассмотрения многих процессов оно может быть более эффективным, в смысле простоты объяснения законов, чем действие сложения. Если сменить базис.
Сложение проще? Но это потому что нас так научили и мы привыкли так считать.
Пример из другой области.
Не только художник, но и любой человек, обладющий более-менее развитым эстетическим вкусом, выбирая наиболее «приятное» для него соотношение, скажем, высоты и ширины картины, укажет на определенное, известное как «золотое сечение». Это проверенный факт.
В математике это сотношение появляется тоже как своего рода действие, а именно: деление отрезка в среднем и крайнем отношении.
Но если с точки зрения математика числовой результат может казаться «сложным», то с точки зрения эстетики «золотое сечение» является простейшим. В каком то смысле, для эмоционального центра оно является тем же, что элементарное действие вроде дважды два для интеллектуального центра. Художнику или архитектору незачем его определять иначе как просто указав его существование.
Я не имею в виду, что конкретно эти операции являются базовыми. Это АНАЛОГИЯ.
Существуют и другие действия, чрезвычайно важные для понимания механизмов Природы, для которых даже не знаю, существуют ли какие-то специальные математические понятия. Для современной математической науки было бы абсурдом считать их каким-то отдельными «действиями». Потому что она не знает о фундаментальности законов, которые можно красиво этими действиями описать. Их можно найти в литературе, хотя узнать их можно, как правило, когда уже знаешь о них достаточно и без источников.
Поэтому ответы на приведенную задачку тем интереснее, чем проще. Скажем, если бы "умножение числа на себя" обозначалось как-нибудь иначе, без участия двойки, оно подходило бы для решения, и так далее. Чем меньше зависимость от формальной стороны, тем лучше. А вот (5 – 5/5)! – действительно красиво.