арбузная теорема

Обнаружил на практике, что сколько бы я ни отрезал от арбуза, количество плёнки для защиты оставшейся части не уменьшается.

Оказалось, что это свойство зависит от способа нарезки. С детства я усвоил, что способов нарезки арбуза существует два: "как папа режет" (параллелями) и "как в букваре рисуют" (меридианами).

При нарезке параллелями площадь контакта арбуза с воздухом сначала увеличивается до большого круга, потом уменьшается обратно до нуля. Такой способ удобен для хранения - даже если арбуз оказался очень сочным, срез можно расположить строго горизонтально и ничего из него вытекать не будет. При определённой сноровке накрыв такой срез двумя встречно расположенными тарелками можно выиграть немного дополнительной площади в холодильнике.

При нарезке меридианами как раз проявляется обнаруженное в первой строке свойство: вырезание первого же ломтика максимизирует площадь контакта (согнутый пополам большой круг), и пока арбуз не кончится, площадь останется постоянной. Этот способ даёт всем равные права попробовать как серединку, так и край. Зато из сочного арбуза даже при самом симметричном хранении сок будет вытекать из полюсов.

Аналогично "дольками" или "колечками" режутся цитрусовые. Но не прочие квази-сферические фрукты.

арбузная задачка (2)

Придумалась задачка: если арбуз нарезается меридианами, как в предыдущем посте, и при этом из него вырезали всего пару ломтиков, а потом отложили, то вместо закрывания плёнкой каждой плоскости среза можно немножко сэкономить, затянув отсутствующую часть вдоль поверхности - вдоль бывшей корки.

Очевидно, по мере увеличения вырезанной части такой способ постепенно нагонит "способ согнутого большого круга". Вопрос - когда?
Ну или проще: у ломтика какого размера зелёная и красная площади совпадают?

арбузная задачка (3)

Ну и чтоб три раза не вставать, вдогонку классическая задачка:

В предположении, что масса в арбузе распределена равномерно (корка и съедобная часть имеют одинаковую плотность), вычислить, на каком расстоянии от центра должна начинаться "зона корки", чтобы массы корки и съедобной части были равны.

Аналогичный вопрос про кубический арбуз.