точка, остающаяся на круге

Исследуя одну узоропостроительную идею, наткнулся на любопытные тождества, справедливые для вписанных равносторонних многоугольников (доказываются они, например, через теорему Птолемея):

3. В круг вписан равносторонний треугольник ABC. Для любого положения точки X на дуге BC справедливо: XA=XB+XC

5. В круг вписан равносторонний пятиугольник ABCDE. Для любого положения точки X на дуге BC справедливо: XA+XD=XB+XC+XE

6. В круг вписан равносторонний шестиугольник ABCDEF. Для любого положения точки X на дуге BC справедливо: XE+XF=XA+XB+XC+XD

Несложно усмотреть здесь некоторую закономерность, но я пока не встречал обобщающего тождества для любого вписанного равностороннего n-угольника. И даже отдельно для чётных n или для нечётных n. Никто не хочет попробовать?

Механическое рисование гиперболы

Многие знают механические способы нарисовать эллипс - либо с помощью верёвки, двух булавок и карандаша, либо специальным прибором. В обоих случаях принцип основан на свойстве, что сумма расстояний от двух фокусов эллипса - постоянна.

Для гиперболы тоже существует похожее свойство, только там разница расстояний постоянна. И я ни разу раньше не видел соответствующего прибора. А сегодня увидел, как при помощи колечка можно, оказывается, вычитать.