упорство чисел

Есть такая удивительная характеристика целых чисел - "упорство".

Различают аддитивное и мультипликативное упорства.

Первое понятно откуда возникает: если искать остаток от деления числа на 9 по шагам, на каждом шаге складывая цифры числа (т.н. "теософское сложение"), то аддитивное упорство- это во сколько элементарных шагов мы уложимся. И понятно, что ограничения сверху у такой штуки нет.

Второе понятие существенно хитрее. То есть формально это эквивалентный процесс, где используется "теософское умножение". Но ничему более простому эта процедура, похоже, не соответствует. При этом пока не найдено ни одного числа, для которого число шагов было бы больше 11. То есть эта непараметрическая процедура разбивает всё множество целых чисел на 12 классов.

Если попытаться зарисовать граф чисел, сводимых друг к дружке, получим очень красивую с виду нерегулярную картинку. А если над ней много думать...