семёрки и делимость
Apr. 19th, 2007 01:07 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
jayrandomПредположим, что в одном гультанпанасе - 5764801=7^8 тональности цветов. Простейшая модель: тональности восьмимерны и по каждому измерению дискретны - могут принимать одно из семи значений.
Одна из этих тональностей доступна только восприятию ЕГО БЕСКОНЕЧНОСТИ ВСЕДЕРЖИТЕЛЯ, а ровно треть от оставшихся (1921600=2*2*2*2*2*2*5*5*1201) - пускай и потенциально, восприятию обычными существами.
Первым делом кажется неожиданным, что 7^8-1 вообще делится нацело на 3.
Но вообще-то это просто.
1й способ. Представим себе в любой системе счисления с основанием L число L^n-1. Это будет единица с n нулями. Если теперь вычесть из него единицу, получим число, состоящее из n штук цифр (L-1). Очевидно, что такое число будет делиться на (L-1). В нашем примере L=7, значит, 7^n-1 будет делиться на 6, а следовательно - на 2 и 3.
2й способ. Разделим L^n-1 на L-1 как полиномы. Оно разделится и получится сумма 1+L+L^2+L^3+...+L^(n-1). Если это число записать в L-ричной системе счисления, то получится ряд единиц - как раз результат деления из способа 1.
Интересно ещё и то, что одновременно получается это самое расслоение по степеням 7 - на единицу, семёрку, семёрку семёрок, и так далее.
Одна из этих тональностей доступна только восприятию ЕГО БЕСКОНЕЧНОСТИ ВСЕДЕРЖИТЕЛЯ, а ровно треть от оставшихся (1921600=2*2*2*2*2*2*5*5*1201) - пускай и потенциально, восприятию обычными существами.
Первым делом кажется неожиданным, что 7^8-1 вообще делится нацело на 3.
Но вообще-то это просто.
1й способ. Представим себе в любой системе счисления с основанием L число L^n-1. Это будет единица с n нулями. Если теперь вычесть из него единицу, получим число, состоящее из n штук цифр (L-1). Очевидно, что такое число будет делиться на (L-1). В нашем примере L=7, значит, 7^n-1 будет делиться на 6, а следовательно - на 2 и 3.
2й способ. Разделим L^n-1 на L-1 как полиномы. Оно разделится и получится сумма 1+L+L^2+L^3+...+L^(n-1). Если это число записать в L-ричной системе счисления, то получится ряд единиц - как раз результат деления из способа 1.
Интересно ещё и то, что одновременно получается это самое расслоение по степеням 7 - на единицу, семёрку, семёрку семёрок, и так далее.
