нецелый показатель производной

[jayrandom]

В математике много где используются нецелые числа - их можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, В ИХ СТЕПЕНЬ можно возводить, можно брать логарифмы по нецелому основанию, и так далее.

Внимание, вопрос: кто и при каких обстоятельствах встречался с нецелым показателем производной?

Можно представить себе дифур, который содержит производную второго порядка, первого, нулевого (саму переменную), а кроме этого в уравнение входит производная с дробным показателем, допустим, 1/2. То есть, некоторая операция, которую если применить дважды, получится производная (или наоборот - если применить дважды, получится первообразная - не имеет значения).

Может быть физики встречались с такой хреновиной?

Если конкретнее, меня в первую очередь интересуют дробные производные от тригонометрических функций, но и общий случай интересен.

UPDATE: Упс, сам нашёл. Вопрос снимается, но пускай повисит, вдруг кому тоже интересно.

Comments

[livelight]

С тригонометрическими просто: если взять комплексную форму cos(a*x) + i*sin(a*x), то там производная будет равна повороту и умножению. Но это именно свойство функции, а не определение производной.

Со статьёй в апдейте примерно то же самое происходит, вообще говоря. Гамма-функция совпадает с факториалом в целых числах, в этом ей повезло, но определение факториала к дробным аргументам неприменимо, так что гамма-функция не является обобщением факториала.

[jayrandom.livejournal.com]

С тригонометрическими действительно оказалось просто. Если один целый раз взять производную - это поворот на 90гр, то полу-производная - поворот на 45гр, треть-производная - поворот на 30гр и так далее. Идеальная плавность!

lidums подсказал, что здесь плавность сдвигания синуса и косинуса кладётся в основу определения дробной производной.

[livelight]

Кстати да, тоже вариант. Если ряд Фурье существует и сходится (забыл уже список требований для этого) - можно попробовать воспользоваться этим свойством тригонометрических функций. Только надо бы доказать сначала хотя бы, что полученный ряд Фурье тоже будет сходиться, а то ж там чем дальше - тем больше коэффициенты получаться могут.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Ну, определение целой степени к дробным и уж тем более вещественным степеням тоже не применимо. Что как бы вовсе не мешает радоваться и считать, что вещественная степень является более общим случаем.

[livelight]

Имхо, определение вещественной степени все же является обобщением определения целочисленной.
Но в случае синуса его производная именно равна сдвигу (так уж получилось), но не является сдвигом по определению. Для других функций это свойство может и не выполняться.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

О, спасибо, я над этим вопросом глубоко задумывался когда-то в юности, но википедии тогда под рукой почему-то не было, а потом я совершенно забыл.