![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
математическое приложение музыки
Часто, когда связывают математику и музыку, имеют в виду одностороннюю связь, а именно - применение математики в музыке.
Сегодня у меня вдруг замкнуло в обратную сторону, от чего испытал огромное удивление. Оказывается, музыку можно использовать в математике - по крайней мере, в приближённых вычислениях.
Мне нужно было возвести в большую степень число вида (n+1)/n. Примеры: (5/4)^9, (6/5)^8 и так далее. Когда степень действительно большая, обыкновенная интуиция может запросто подвести. В этих случаях можно вспомнить про параллель между "хорошо темперированным" и натуральным строями. Фактически, это экспоненциальная шкала, приблизительно наложенная на рациональную. Ну и что, что приблизительно - известно же, что точно нельзя, и ладно. Итак,
3/2 - квинта
4/3 - кварта
5/4 - большая терция
6/5 - малая терция
... - куча сужающихся терций, переходящих в секунды
Итак, что будет, если пройти клавиатуру большими или малыми терциями?
Больших в октаву укладывается три ( (5/4)^3 ~= 2 ), а малых - четыре ( (6/5)^4 ~= 2 ).
Плюс, разные интервалы можно комбинировать ( две малые терции = тритон, кварта + большая терция = большая секста ).
Вот такая техника, пользуйтесь кому надо.
Сегодня у меня вдруг замкнуло в обратную сторону, от чего испытал огромное удивление. Оказывается, музыку можно использовать в математике - по крайней мере, в приближённых вычислениях.
Мне нужно было возвести в большую степень число вида (n+1)/n. Примеры: (5/4)^9, (6/5)^8 и так далее. Когда степень действительно большая, обыкновенная интуиция может запросто подвести. В этих случаях можно вспомнить про параллель между "хорошо темперированным" и натуральным строями. Фактически, это экспоненциальная шкала, приблизительно наложенная на рациональную. Ну и что, что приблизительно - известно же, что точно нельзя, и ладно. Итак,
3/2 - квинта
4/3 - кварта
5/4 - большая терция
6/5 - малая терция
... - куча сужающихся терций, переходящих в секунды
Итак, что будет, если пройти клавиатуру большими или малыми терциями?
Больших в октаву укладывается три ( (5/4)^3 ~= 2 ), а малых - четыре ( (6/5)^4 ~= 2 ).
Плюс, разные интервалы можно комбинировать ( две малые терции = тритон, кварта + большая терция = большая секста ).
Вот такая техника, пользуйтесь кому надо.
no subject
спасибо.
no subject
no subject
Общая идея такая: тело, колеблющееся на частоте Ч (струна, столб воздуха в духовом инструменте или планка на вибрафоне) издаёт также пакет кратных частот 2Ч, 3Ч, 4Ч, 5Ч, и т.д., называемых обертонами. Эти обертоны можно выделить отдельно - например, на гитаре издать флажолет: очень слабо прикоснуться к вибрирующей струне, поделив её ровно в отношении 1/2, 1/3 или 1/4 (дальше сложнее нащупать правильное место, но в принципе тоже можно). При этом будет слышно ноту, которая выше основного тона:
2Ч - на октаву
3Ч - на октаву + квинту
4Ч - на две октавы
5Ч - на две октавы + б.терцию
6Ч - на две октавы + квинту
7Ч - на две октавы + грязную малую септиму
8Ч - на три октавы
9Ч - на три октавы + б.секунду
10Ч- на три октавы + б.терцию
11Ч- на три октавы + кварту
12Ч- на три октавы + квинту
13Ч- на три октавы + б.сексту
14Ч- на три октавы + грязную малую септиму
15Ч- на три октавы + большую септиму
16Ч- на четыре октавы
... и так далее ...
Эти все звуки "содержатся" в основном тоне частоты Ч, но обычно звучат довольно тихо. Некоторые инструменты (в основном духовые) специально построены, чтобы их выделять из основных тонов (которых таким образом становится меньше). Например, на трубе всего лишь 7 основных тонов, хотя разных звуков на ней можно издать значительно больше.
В некотором смысле этот эффект - физическое свойство закона колебаний. Т.е. эти "целочисленные" интервалы - примарны. А уже то, что нам больше нравится работать с интервалами, меньшими октавы, вынуждает нас переходить к дробям, т.е. считать, что:
ч.квинта - это расстояние от 2Ч до 3Ч (т.е. 3/2Ч)
ч.кварта - это расстояние от 3Ч до 4Ч (т.е. 4/3Ч)
б.терция - это расстояние от 4Ч до 5Ч (т.е. 5/4Ч)
м.терция - это расстояние от 5Ч до 6Ч (т.е. 6/5Ч)
Необязательно считать расстояние между соседними обертонами:
б.секста - это расстояние от 3Ч до 5Ч (т.е. 5/3Ч)
и так далее.
А потом, уже при Бахе, придумали логарифмическую шкалу и равномерное темперирование, где все полутоны математически равны. Что позволило легко транспонировать из тональности в тональность и играть оркестрами. За это пришлось заплатить тем, что мы больше не слышим ухом резонанса чистых дробей.
no subject