![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Золотое сечение demystified
Про понятие "золотого сечения" написано очень много, но количество тумана явно перебирает через положенные по этому самому закону 61.8% :)
Между тем, это просто, если отбросить эстетический аспект (к нему можно будет вернуться позже). Золотое сечение (фи=0.61803398874) - такая же базовая константа нашего мира, как и круговое число (Пи=3.1415926). Обе константы являются предельными значениями для некоторых групп процессов, часто дискретных (поэтому заявленная иррациональность на практике недостижима).
То, что построено или сваяно человеком (сознательно, бессознательно, либо вообще вопреки собственной воле) тоже лучше для начала отбросить. Золотое сечение появляется в природных феноменах, независимых от человеческой воли - вот там его и нужно изучать. Большинство примеров относятся к разнообразным измерениям на живых организмах - начиная от ракушек моллюсков, через филлотаксис (схемы расположения листьев, почек, лепестков, семечек и прочих заменимых органов) растений и до млекопитающих. Человеческое тело - не исключение; его-то уже за века мерили-перемерили...
Вот два примера, на которые хотелось бы обратить внимание:
Один из них "аутентичный", а другой частично напоминает измерения будки из "Маятника Фуко". Разобравшись в основной идее можно понять, какой именно относится к будке.
Итак, ПОЧЕМУ же живые организмы (есть любители расширять определение "живого" - пожалуйста) делятся некоторыми важными точками (пупками, коленками, плечами...) в пропорции золотого сечения? Чтобы в этом разобраться, потребуется знание двух фактов:
1) В ряду чисел Фибоначчи (F1=1,F2=1,F3=2,3,5,8, ..., Fn ), где Fn = Fn-1+Fn-2, отношение двух последовательно взятых чисел Fn/Fn-1 сколь угодно близко приближается к 1+фи=1.618033...
2) Оказывается, давным-давно известна контекстно-свободная грамматика, порождающая строку, которая в каждом поколении имеет длину, равную очередному числу Фибоначчи. Грамматика выглядит следующим образом:
start = {A}, rules = { A->B, B->AB }. Попробуем "проиграть" несколько поколений:
(поколение 1, длина= 1) А
(поколение 2, длина= 1) В
(поколение 3, длина= 2) АВ
(поколение 4, длина= 3) ВАВ
(поколение 5, длина= 5) АВВАВ
(поколение 6, длина= 8) ВАВАВВАВ
(поколение 7, длина=13) АВВАВВАВАВВАВ
и так далее.
Попытаемся осмыслить, что здесь происходит. Второе правило можем представить себе, как деление клетки. А первое - как взросление молодой клетки. "Молодая" клетка (типа А) не может разделиться сразу, для этого ей нужно сначала повзрослеть. А "старая" (типа В) делится сразу же, но хотя в результате деления от неё отпочковывается "молодая", "старая" остаётся репродуктивноспособной.
Рассмотрим теперь, что произойдёт с местом первичного деления (в поколении 3), поставив между половинками маркер - точку. Поколения и длину я буду теперь опускать:
А
В
А.В
В.АВ
АВ.ВАВ
ВАВ.АВВАВ
АВВАВ.ВАВАВВАВ
и так далее.
Очевидно, что, т.к. грамматика контекстно-свободная, левая и правая части никогда больше не перехлестнутся, и будут удлинняться совершенно независимо. Каждая из половинок повторяет общий закон чисел Фибоначчи, таким образом поставленный нами маркер делит строку ровно в отношении ЗС. В любой из "половинок" на любом из шагов может возникнуть свой собственный маркер, который будет делить в этой пропорции соответствующую часть - нужно просто понять, какую именно.
В процессе эмбриогенеза организм возникает из одной-двух клеток, которые делятся. Хотя делятся они не такими чёткими поколениями, но процессы эти очень похожи. Времена, требуемые для деления разных клеток одного типа близки, и их можено условно считать одинаковыми. А откуда же берутся маркеры? Маркер в каждом случае - это некий орган, развившийся из специализированной клетки. Можно представить себе, что в некоторый момент, близкий к началу развития, вместо правила В->АВ срабатывает правило В->АПВ, где из П разовьётся, допустим, пупок. А уже на следующем шаге в более длинной части срабатывает В->ВКА, где из К разовьётся коленка.
Разумеется, мы тут построилишарообразного коня в вакууме одномерного человека, но общая идея должна быть ясна. Если такой или подобный закон деления применяется для построения большинства организмов (а известно, что по крайней мере у 92% видов растений филлотаксис осуществляется в соответствии с законом ЗС), то неудивительно, что он нас буквально окружает.
Ну и наконец эстетика. Почему же нам так "нравится" золотое сечение? Что в нём такого красивого?
Можно спекульнуть, что и наш орган восприятия красоты (как бы он ни назывался и где бы ни находился) тоже построен подобным образом. И, соответственно, резонирует на всё золоторассечённое :)
Между тем, это просто, если отбросить эстетический аспект (к нему можно будет вернуться позже). Золотое сечение (фи=0.61803398874) - такая же базовая константа нашего мира, как и круговое число (Пи=3.1415926). Обе константы являются предельными значениями для некоторых групп процессов, часто дискретных (поэтому заявленная иррациональность на практике недостижима).
То, что построено или сваяно человеком (сознательно, бессознательно, либо вообще вопреки собственной воле) тоже лучше для начала отбросить. Золотое сечение появляется в природных феноменах, независимых от человеческой воли - вот там его и нужно изучать. Большинство примеров относятся к разнообразным измерениям на живых организмах - начиная от ракушек моллюсков, через филлотаксис (схемы расположения листьев, почек, лепестков, семечек и прочих заменимых органов) растений и до млекопитающих. Человеческое тело - не исключение; его-то уже за века мерили-перемерили...
Вот два примера, на которые хотелось бы обратить внимание:
Один из них "аутентичный", а другой частично напоминает измерения будки из "Маятника Фуко". Разобравшись в основной идее можно понять, какой именно относится к будке.
Итак, ПОЧЕМУ же живые организмы (есть любители расширять определение "живого" - пожалуйста) делятся некоторыми важными точками (пупками, коленками, плечами...) в пропорции золотого сечения? Чтобы в этом разобраться, потребуется знание двух фактов:
1) В ряду чисел Фибоначчи (F1=1,F2=1,F3=2,3,5,8, ..., Fn ), где Fn = Fn-1+Fn-2, отношение двух последовательно взятых чисел Fn/Fn-1 сколь угодно близко приближается к 1+фи=1.618033...
2) Оказывается, давным-давно известна контекстно-свободная грамматика, порождающая строку, которая в каждом поколении имеет длину, равную очередному числу Фибоначчи. Грамматика выглядит следующим образом:
start = {A}, rules = { A->B, B->AB }. Попробуем "проиграть" несколько поколений:
(поколение 1, длина= 1) А
(поколение 2, длина= 1) В
(поколение 3, длина= 2) АВ
(поколение 4, длина= 3) ВАВ
(поколение 5, длина= 5) АВВАВ
(поколение 6, длина= 8) ВАВАВВАВ
(поколение 7, длина=13) АВВАВВАВАВВАВ
и так далее.
Попытаемся осмыслить, что здесь происходит. Второе правило можем представить себе, как деление клетки. А первое - как взросление молодой клетки. "Молодая" клетка (типа А) не может разделиться сразу, для этого ей нужно сначала повзрослеть. А "старая" (типа В) делится сразу же, но хотя в результате деления от неё отпочковывается "молодая", "старая" остаётся репродуктивноспособной.
Рассмотрим теперь, что произойдёт с местом первичного деления (в поколении 3), поставив между половинками маркер - точку. Поколения и длину я буду теперь опускать:
А
В
А.В
В.АВ
АВ.ВАВ
ВАВ.АВВАВ
АВВАВ.ВАВАВВАВ
и так далее.
Очевидно, что, т.к. грамматика контекстно-свободная, левая и правая части никогда больше не перехлестнутся, и будут удлинняться совершенно независимо. Каждая из половинок повторяет общий закон чисел Фибоначчи, таким образом поставленный нами маркер делит строку ровно в отношении ЗС. В любой из "половинок" на любом из шагов может возникнуть свой собственный маркер, который будет делить в этой пропорции соответствующую часть - нужно просто понять, какую именно.
В процессе эмбриогенеза организм возникает из одной-двух клеток, которые делятся. Хотя делятся они не такими чёткими поколениями, но процессы эти очень похожи. Времена, требуемые для деления разных клеток одного типа близки, и их можено условно считать одинаковыми. А откуда же берутся маркеры? Маркер в каждом случае - это некий орган, развившийся из специализированной клетки. Можно представить себе, что в некоторый момент, близкий к началу развития, вместо правила В->АВ срабатывает правило В->АПВ, где из П разовьётся, допустим, пупок. А уже на следующем шаге в более длинной части срабатывает В->ВКА, где из К разовьётся коленка.
Разумеется, мы тут построили
Ну и наконец эстетика. Почему же нам так "нравится" золотое сечение? Что в нём такого красивого?
Можно спекульнуть, что и наш орган восприятия красоты (как бы он ни назывался и где бы ни находился) тоже построен подобным образом. И, соответственно, резонирует на всё золоторассечённое :)
no subject
Лефевр в "Алгебре cовести" (http://www.algebraofconscience.org/book.php?lang=rus) это весьма изящно объясняет :)
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject