Как число 64 порождает 12?

Недавно по наводке victorolsufievа прошёлся по форумам ицзинистов. Честно признаюсь, большинство обсуждений для меня - сущий китайский язык, особенно когда они начинают ловко называть гексаграммы по именам, я сразу теряюсь :) Но мне пришла в голову одна идея, которая может иметь интересное развитие. А может это и изобретение велосипеда - ну тогда можно и проигнорировать.



Дано: в наборе из 64 гексаграмм И-Цзина (будем их представлять 6-битными двоичными числами) существует каноническая циклическая последовательность из 12 знаков, которую можно условно привязать к 12 месяцам, 12 знакам зодиака, 12 зверям, 12 полутонам и так далее. Важно то, как она получена: начинают с числа 000000, а каждое следующее получают циклическим сдвигом битов через инвертор (бит, который перелетает через регистр, переворачивается). Получается цикл: 000000, 000001, 000011, 000111, 001111, 011111, 111111, 111110, 111100, 111000, 110000, 100000, и обратно в начало.

Такую же операцию можно начать с любого числа, не обязательно одного из этих двенадцати - в этом случае получится другой цикл. Понятно, что всё множество двоичных чисел заданной длины можно полностью и однозначно разделить на такие вот непересекающиеся циклы. Кроме того, можно отбросить число 6 как уникальное и рассмотреть эксперименты по разбиению на циклы полных множеств двоичных чисел длины N. Для N от 1 до 9 разбиения приведены ниже. Каждый цикл я для простоты учёта начинаю с самого "младшего" числа, и по этим же "младшим" стартовым числам сортирую:


( Смотреть таблицу целиком )

В этих разбиениях несколько удивительных моментов:

Удивительное №1: Несмотря на то, что общее количество чисел в каждом случае равно 2^N, приведённая операция "стремится" поделить это число на некоторое количество полных циклов по 2*N, при этом если N не является степенью двойки, то остаётся "остаток" (если взглянуть на случай N=5, становится очевидной сакральность прикупа в преферансе :).

Удивительное №2: Наиболее естественная геометрическая модель для представления всех двоичных чисел длины N - это N-мерный гиперкуб, числа раскидываются по вершинам и представляют из себя координаты этих вершин в N-мерном пространстве. Интересно провести в гиперкубе линии, которые соединяют числа, следующие по порядку в циклах. Получатся такие "меридианы", не имеющие общих точек. Большинство меридианов одинаковой длины, но некоторые - короче.

Удивительное №3: Если сложить циклы пополам (я специально так сделал для случая N=6), то видно, что верхняя и нижняя гексаграмма являются друг для дружки перевёртышами. Такие пары встречаются при исследованиях разных порядков гексаграмм. Интересно было бы кроме собственно разрозненных пар искать и "подсвечивать" целые циклы, и смотреть, как они будут распределяться в порядках.

Удивительное №4: Это объективный способ (ладно, один из :) вычислить две "лишние" триграммы и четыре "лишние" гексаграммы. Не правда ли удивительно, что это не 000 и 111, а как раз "противоположные", наиболее пёстрые?

Удивительное №5: Интересно последить за тем, какие встречаются длины "остаточных", коротких циклов. Мне кажется, для довольно больших чисел там наклёвываются длины периодов Таблицы Менделеева - по крайней мере, двойки, шестёрки и десятки одновременно встречаются; надо посмотреть, что дальше будет. Пригодился бы суперкомпьютер :)

Удивительное №6: Прокрутка числа в обратную сторону через такой же инвертер приводит к движению по тому же циклу, но в обратную сторону.

Удивительное №7: Половой/полюсный состав. Примем за "север" гиперкуба точку "все нули", а за "юг" - точку "все единицы". Поскольку все последовательности получаются "прокруткой" через регистр двойной длины, вторая половинка которой полностью противоположна первой, то числа в цикле строго сбалансированы по количеству нулей и единиц (если встретилось число с соотношением 1:5, то обязательно в оппозиции к нему будет число с соотношением 5:1). Ну или можно сказать, что половой/полюсный состав каждого цикла уравновешен сам в себе.

Колебания север-юг. При этом каждая операция сдвиг-инверсии сдвигает либо на один шаг к "северу" гиперкуба, либо на один шаг к "югу" (стояния на месте не существует). "Оригинальный" 12-ступенчатый цикл от 000000 до 111111 обладал самой низкой частотой колебаний север-юг при заданной длине цикла - сначала 6 шагов на юг, потом 6 шагов на север, он более всех похож на меридиан. Остальные "меридианы" всё ближе и ближе наклонены к "экватору". И чем короче цикл при данном N, тем лучший он кандидат в экваторы. В 6-мерном случае наилучший экватор - это 4-элементный цикл, а во всех случаях где N нечётно - вообще 2-элементный цикл (там всегда две "расчёски" превращаются друг в дружку).